５つのビリヤード玉の問題

森博嗣さんの『笑わない数学者』の中で、数学者天王寺博士が出す問題の一つに、以下の問題があります。

「…五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。玉には、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？」

この小説内では、解答も解法も載っておらず、読んだ当時に力づくで解いた記憶があります。

最近『笑わない数学者』を再読し、この問題を発見（＋自分の出した答えを本に書き込みしていた）ので、答え合わせをしてみたいと思います。


※小説のストーリーには関係ありませんが、未読の方ご注意ください。


自分の出した解答は、①③⑩②⑤を順に並べてネックレスを作る、というものです。

以下、本当に1から21まで取り出せるのか、の確認。

1. ①を取り出す
2. ②を取り出す
3. ③を取り出す
4. ①③の2個を取り出す
5. ⑤を取り出す
6. ⑤①の2個を取り出す
7. ②⑤の2個を取り出す
8. ②⑤①の3個を取り出す
9. ⑤①③の3個を取り出す
10. ⑩を取り出す
11. ②⑤①③の4個を取り出す
12. ⑩②の2個を取り出す
13. ③⑩の2個を取り出す
14. ①③⑩の3個を取り出す
15. ③⑩②の3個を取り出す
16. ①③⑩②の4個を取り出す
17. ⑩②⑤の3個を取り出す
18. ⑩②⑤①の4個を取り出す
19. ⑤①③⑩の4個を取り出す
20. ③⑩②⑤の4個を取り出す
21. ①③⑩②⑤の5個すべてを取り出す

とりあえず、答えとしては合っていました(^-^)v


さて、この解き方の方が気になるのですが、私は当時力ずくで、場合分けしつつ考えました。

かなりの時間がかかりました。。。


まず、考えたことは、

• 絶対に①と②の玉は必要であること
• 玉の取り出し方は21通りになるため、五つの玉の合計は21になること
• 足して10になるところまで考えられれば、後はその反対になること
• ということは①②は決定しているから、残り三つの玉の合計は18になること
• ・・・など

と、問題文から思いつく限りの条件を列挙してから、

（１）①と②が隣り合っている場合

（２）①と②が隣り合ってない場合

と場合分けして考えていきました。


もっと、スマートな解法があるかと思いますので、考えてみたいと思います。

気が向いたら・・・(^-^;)

【追記】

続きを書きました。

５つのビリヤード玉の問題（２）